Шевелим мозгами

[Rost]

Вот решаю домашку по одному из своих предметов, и наткнулся на интересную задачку. Может не все еще забыли самый простой раздел высшей математики...

Условие:

• Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

[Alex@&er]

Как в анекдоте: - Языки иностранные знаете?
- Учил в школе какой-то...Какой не помню

[Rost]

А задачка, кстате, не из самых простых. В 2007 году была на Всеукраинской олимпиаде по математике

[DaKaR]

Жжешь

[Rost]

Та чего, мало-ли кто-то захочет молодость вспомнить.
Студенты физмата КПИ настолько суровы...

[Mechanical]

Я наверное смогу тебе помочь,только тебе нужно вникнуть в суть и быть предельно внимательным при переписывании (знак умножения я опускал, ^ это степень,a2 - коэф. с индексом).

Если в этой теме ты что-то не поймешь,то стучись мне в ICQ: 390814020.
Вооружившись микрофоном и наушниками мы "натянем" эти параболы.

Итак,поехали.

Для начала немного теории :

Общее уравнение параболы : y=ax^2+bx+c .

Общее уравнение окружности : x^2+y^2+Ax+By+C=0 .

Пусть первая парабола описывается уравнением : y=a1x^2+b1x+c1 ,(1).

Поскольку вторая парабола повернута на 90 градусов по отношению к первой,т.е. для нее оси как бы поменяются местами ,то ее уравнение будет иметь вид : x=a2y^2+b2y+c2 ,(2).

Кстати,все эти A,B,C,a,b,c,a1,b1,c1,a2,b2,c2 - просто некоторые коэффициенты,а поскольку в общем случае они разные,то вводится индексирование.

Ага,т.к. нас интересуют точки пересечения этих парабол,то мы должны рассмотреть систему из двух уравнений,описывающих данные параболы.

Я не знаю как на клаве настучать фигурную скобку,поэтому она подразумевается,а ты в тетради сам поставишь. .

y=a1x^2+b1x+c1
{
x=a2y^2+b2y+c2

или

x^2=(y-b1x-c1)/a1
{
y^2=(x-b2y-c2)/a2

Теперь,складывая левые и правые части этих уравнений соответственно,мы получим :

x^2+y^2=(y-b1x-c1)/a1+(x-b2y-c2)/a2 , или

x^2+y^2-(y-b1x-c1)/a1-(x-b2y-c2)/a2=0 , или

x^2+y^2+(b1/a1-1/a2)x+(b2/a2-1/a1)y+c1/a1+c2/a2=0 ,а теперь,если мы зададим соответствия :

(b1/a1-1/a2)=A ; (b2/a2-1/a1)=B ; c1/a1+c2/a2=C ,то получим уравнение вида:

x^2+y^2+Ax+By+C=0 ,а это и есть общее уравнение окружности,которое упоминалось в начале решения.

Итак.
Точки пересечения кривых (прямая-частный случай кривой) определяются как решение системы уравнений,описывающих данные кривые,а поскольку таким решением стало уравнение окружности,то мы делаем вывод,что точки пересечения будут принадлежать этой окружности.

При желании можно в общем виде (используя коэффициенты A,B,C) показать каким будет радиус этой окружности и где ее центр.

ЗЫ.Надеюсь,что ход моих мыслей верен.
Отпишись потом,ладно? А то и самому интересно.

[Klon]

у меня мозги выходят из спячки только во время сессии или когда очень припрет

[Rost]

x^2+y^2+Ax+By+C=0

сие не есть общее уравнение окрудности , это может быть любая из линий второго порядка
Примеры:

5(х^2)+9(y^2)-30x+18y+9=0 - не круг
16(х^2)-9(y^2)-64x-18y+199=0 - тоже не круг

это так, первое что нашол

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:
Или имеется в виду, что коефициенты при Х^2 и Y^2 строго равны нулю? Тогда еще нужно выделить полный квадрать для красоты...

[Mechanical]

x^2+y^2+Ax+By+C=0

сие не есть общее уравнение окрудности , это может быть любая из линий второго порядка
Примеры:

5(х^2)+9(y^2)-30x+18y+9=0 - не круг
16(х^2)-9(y^2)-64x-18y+199=0 - тоже не круг

это так, первое что нашол

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:
Или имеется в виду, что коефициенты при Х^2 и Y^2 строго равны нулю? Тогда еще нужно выделить полный квадрать для красоты...

А почему ты в своем примере поставил коэффициенты перед х^2 и y^2 ?
Разве в общем уравнении окружности я их ставил ?
Эти коэф.равны не нулю,а единице.
А выделив полный квадрат мы получаем уравнение тоже общее,но слегка приведеное.

[Rost]

Ну тогда ок. Один знающий человек нашолся.
задача №2 Тоже из Клетенника. Я ее тоже решил, но инетересен метод. Поскольку мне известно два. Один очень длинный и непрозрачный. Второй намного более короткий, но пользуются им немногие.

Точка М(1;-2) лежит на гиперболе. Фокус которой F(-2;2), а соответствующая директриса 2х-у-1=0. Составить уравнение гиперболы.

Добавлено спустя 45 секунд:
Mechanical

Или имеется в виду, что коефициенты при Х^2 и Y^2 строго равны нулю? Тогда еще нужно выделить полный квадрать для красоты...

Я это уже сказал. То так, не проснулся еще

Добавлено спустя 33 секунды:
естественно единице

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

тоже общее,но слегка приведеное

мы получим каноническое уравнение круга

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:
кстати в тему http://www.3dnews.ru/news/postoyannoe_o" target="_blank ... dlya_mozga

[Mechanical]

мы получим каноническое уравнение круга

Да,все верно.
Просто я эти канонические уравнения считаю приведеными (чисто для себя).
Вот в случае окружности оно вытекает из общего и дает наглядное представление о местоположении ее центра и информацию о радиусе.
А в общем уравнении нифига не видно.
Ну ладно.Главное зреть в корень ,а назвать изначально могли как угодно.

Кстати у меня высшая математика закончилась в 2000 году.Всего было 3 семестра (1,5 года).
Это была далеко не углубленная программа,но я занимался и самообучением,а это в свою очередь приносило доход.Решал,получал деньги и жил в общаге потом на них и тусил с друзьями.

А скажи пару слов о себе.
Все таки КПИ это не "цацки-пецки",а солидное заведение,с соответствующими преподами и т.д.
Факультет ? Специальность ? Откуда любовь к математике ?
Скорее всего тебя и на физику прет и на теормех и сопромат.

Вообщем,если ты не против,то в этой теме или в новосозданной можно выкладывать интересные задачки,головоломки и прочую мозгодробилку.

Потом обмениваться советами,идеями и прочим.

Мне иногда этого не хватает.

Единственная просьба,что бы это все не сводилось к тому,что кто-то умный,а кто-то не такой,что мол я смог,а вы?

Пусть это несет позитив.

ЗЫ.По поводу твоей новой задачи (Клетенника я не знаю,у нас были...а я и не помню ),я потом посмотрю,а то 8 марта,а у меня жена и дочь,которые нуждаются в моем внимании.

[Rost]

Факультет

Физико-математический

Специальность

математика

Откуда любовь к математике ?

Та так, нравятся пару разделов, которые легко применяются к реальной жизни.

Скорее всего тебя и на физику прет и на теормех и сопромат.

У меня всего этого нет

ообщем,если ты не против,то в этой теме или в новосозданной можно выкладывать интересные задачки,головоломки и прочую мозгодробилку

для этого и создал тему

Единственная просьба,что бы это все не сводилось к тому,что кто-то умный,а кто-то не такой,что мол я смог,а вы?

да без проблем

[EvGaS]

Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

Электрическая плавка мозга без доменной печи. Лазером. Со спутника.

Студенты физмата КПИ настолько суровы...

Вашу суровость, да б КонтролСтрайке...

у меня мозги выходят из спячки только во время сессии или когда очень припрет

Ууу, мой мозг и это не будит.

окрудности

Помесь круга с прудом?

x^2+y^2+(b1/a1-1/a2)x+(b2/a2-1/a1)y+c1/a1+c2/a2=0

Давно такого длинного мата не видел.

[Rost]

гумонитарии - вон из темы

[EvGaS]

Только после чтения-пытки чрез тексты книги Мадам Бовари.

[Clay Allison]

Электрическая плавка мозга без доменной печи. Лазером. Со спутника.

Ну! Я не спроста окончил школу с серебрянной медалью, чтобы мне больше НИКОГДА не трахали мозг этими долбанными формулами из бездарных учебников по алгебретригонометрии, которые по стилю изложения похожи на первое поколение учебников по квантовой механике 30-х годов...

[Mechanical]

Rost

Точка М(1;-2) лежит на гиперболе. Фокус которой F(-2;2), а соответствующая директриса 2х-у-1=0. Составить уравнение гиперболы.

Добрался я до задачки.
Уравнение нашел,но не уверен в правильности самого ответа.В том,что получилось,сильно не ковырялся.Вообщем вроде похоже,но в коэф. мог запутаться.
У тебя где-то же валяется ответ.Давай сверим с моим.А потом поговорим о ходе решения,если захочется.

Ответ: 91X^2+16Y^2-100XY+86Y-136X-47=0.

[Rost]

Mechanical
ответ правильный, ход решения какой?

[2kin]

ФИЗМАТ говорите...
Вот вам задачка.

Дано:
1) Полигон неограниченных размеров.
2) Бомбы с ядерным зарядом.Количество бомб не ограничено
3) Взрыватели на бомбе срабатывают от попадания на датчик минимум одного фотона
4)При установке взрывателя на бомбу он может испортится. Вероятность поломки лежит строго между 0 и 1(не включая).

Задача:
Делайте что хотите, но найдите 100% рабочую бомбу не взрывая её.

Чтобы не разводить демагогию сразу скажу, что задача имеет четкое и обоснованное решение.

[Rost]

Чтобы не разводить демагогию

Чтобы не разводить демагогию скажи лучше к какому разделу сие задание относится? Если к теории вероятности, то за решением заходить года через два.